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사영(Orthogonal Projection) 사영(Projection)은 어떤 벡터의 성질을 유지한 채로 다른 벡터나 공간 위에 표현하는 것이라고 설명할 수 있다(엄밀한 정의는 아님). 이 중 정사영(Orthogonal Projection)은 어떤 벡터를 수직 방향으로 내려 표현하는 것을 의미하며, 일반적으로 projection한다는 것은 정사영을 의미한다. 벡터 $v_{a}$를 벡터 $v_{b}$에 projection한 벡터는 $proj_{v_{b}}v_{a}$와 같이 표기하며, 이 벡터는 다음의 공식으로 구할 수 있다. $\Large \frac{v_{a} \cdot v_{b}}{||v_{b}||^{2}} \cdot v_{b}$ 특정 벡터가 아닌 공간에도 projection할 수 있다. 벡터공간 $V..

고윳값(Eigen Value)과 고유벡터(Eigen Vector) 고윳값과 고유벡터는 데카르트 좌표계(xy 좌표평면 등 일반적으로 사용되는 좌표 표현 방식)의 벡터를 방향이 변하지 않는 새로운 축에서의 선형 변환을 표현하는 형태로 자주 설명된다. 이 때 새로운 축 위의 점을 고유벡터라고 하고, 고윳값이 선형변환에 의해 벡터가 얼마나 이동하느냐를 나타낸다. 엄밀한 정의는 아니며, 일반적으로 다음과 같이 정의한다. $A\cdot x = \lambda \cdot x$이며 $x \neq o$일 때의 $x$는 고유벡터, $\lambda$는 고윳값이다. 첫 번째 식을 이항하여 $A\cdot x - \lambda \cdot x= (A - \lambda) \cdot x = O$ 와 같이 표현할 수 있는데, 이때 해에 ..

수반행렬(Adjoint Matrix)의 정의 수반행렬은, 어떤 행렬의 각 원소에 대응하는 여인수 행렬을 만든 뒤, 그것을 전치시킨 것이다. 행렬 $A$가 정의되었을 때, 수반행렬 $adj(A)$는 다음과 같다. $A = $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; adj(A) = \begin{vmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & ..

여인수 전개(Cofactor Expansion) 이전 포스팅에서 다룬 라이프니츠 공식은 행렬식의 정의를 바탕으로 계산하는 방법이지만, 행렬의 크기가 커질수록 연산시간이 크게 증가한다는 단점이 있다. 여인수 전개는 행렬식의 정의의 패턴을 이용하여 계산 과정을 보다 단순하게 정리한 방법 중 하나이다. 여인수란 특정 원소가 속한 행/열을 제외한 부분행렬의 행렬식을 구하고, 제외된 행/열의 번호에 따라 부호(행 번호 + 열 번호가 홀수이면 음수/짝수이면 양수)를 부여한 것이다. 행렬 $A$의 원소 $a_{i}$에 대응하는 여인수는 $C_{ij} = (-1)^{i+j} \times M_{ij}$로 정의되며, 이때 $M_{ij}$는 행렬 A에서 $i$행과 $j$열을 제외한 $(n-1)$차 정방행렬의 행렬식을 의미한..

행렬식의 정의와 라이프니츠 공식 행렬식은 정방행렬에서만 정의할 수 있으며, 행렬이 역행렬을 취할 수 있는지(가역성) 여부를 파악해주는 역할을 한다. 일반적으로 n차 정방행렬 A의 행렬식은 $det(A)$ 또는 $|A|$와 같이 정의한다. $A$가 2차 정방행렬이고 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 와 같이 정의되었을 때, $det(A) = ad - bc$임은 잘 알려져 있지만, 3차 이상의 행렬에서 행렬식을 구하는 것은 2차 행렬만큼 간단하지는 않다. 행렬식의 일반적인 정의(치환을 사용한 정의)는 다음과 같다. $det(A) = |A| = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_{n}}^{} sgn(\sigma)\prod_{i=..

*LU분해의 과정에 관한 내용은 이전 포스팅 참조 가우스-조르당 소거법 포스팅에서 $Ax = b$를 다음과 같이 정의하였다. $\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 10 \end{pmatrix}$ 이때, LU 분해를 통해 행렬 A를 분해할 수 있다. $A = L \cdot U = $$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 9/2 \end{pmatrix}$$ \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1/2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 ..

영화 머니볼 중 ​ 1. 안 괜찮아 ​ ​ 무리였다 ​ 여행 전에도 스케쥴 꽉 채워가며 작별인사를 하고 무거운 캐리어에 책을 네 권이나 담아서 낑낑거리고 바르셀로나 도착하자 마자 카스테욘으로 달려가고 ​ ​ 비행기에서부터 머리가 아프고 몸이 힘들었는데 카스테욘까지는 정해진 스케쥴이라는 핑계로 잠시도 멈추지 못했다. ​ ​ ​ 잠시도 쉬지 못했던건 그 때 뿐만은 아니었을 것이다. ​ 가끔은, 아니 꽤 자주 쉬어줘야 한다는걸 알면서도 ​ 왜 괜찮은 척 했을까 ​ ​ 힘 빼기의 기술 ​ 2. 힘 빼고 혼자서 ​ ​ 사실, 이번에는 이 책을 가져가려고 했다. ​ '힘 빼기의 기술' 지난 여행이 모든 요일의 여행이었다면 이번 여행은 힘을 빼는 여행이길 바래서 ​ 결과적으로 아픈 덕분에 의도치 않게 힘이 빠지기는 ..

​ ​ 1. 엘 프랏은 항상 하늘이 예뻤지 ​ ​ 아침에 못 일어날까 걱정했는데 ​ 다행히 나랑 같은 날 한국으로 돌아가시는 한국분이 계셔서 ​ 일찍 일어나서 공항으로 출발했다 ​ ​ 가는 내내 창밖에 보이는 하늘 색 보면서 감탄 ㅠㅠㅠㅠ ​ ​ 이 시간에 나오니 또 좋네 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 공항 도착 ​ 스페인에서의 마지막 바깥 사진 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 내 서울 여권은 어느새 지워져가고..... ​ ​ 여덟시쯤 공항에 도착했는데 ​ 생각보다 택스리펀도 금방 받고! ​ ​ ​ ​ 핀에어 타기 좋은 날.JPG ​ ​ ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 참 계속 아쉬워 ​ 막상 떠날 땐 이런 기분 아니었는데 ​ ​ ​ ​ 근데 중간에 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ ​ 어떤 한국 사람들이 내 여권 색깔 보고 ​ 여기 일본인 엄청 많네 ​..