gyeo-ri.com

사영(Orthogonal Projection) 사영(Projection)은 어떤 벡터의 성질을 유지한 채로 다른 벡터나 공간 위에 표현하는 것이라고 설명할 수 있다(엄밀한 정의는 아님). 이 중 정사영(Orthogonal Projection)은 어떤 벡터를 수직 방향으로 내려 표현하는 것을 의미하며, 일반적으로 projection한다는 것은 정사영을 의미한다. 벡터 $v_{a}$를 벡터 $v_{b}$에 projection한 벡터는 $proj_{v_{b}}v_{a}$와 같이 표기하며, 이 벡터는 다음의 공식으로 구할 수 있다. $\Large \frac{v_{a} \cdot v_{b}}{||v_{b}||^{2}} \cdot v_{b}$ 특정 벡터가 아닌 공간에도 projection할 수 있다. 벡터공간 $V..

고윳값(Eigen Value)과 고유벡터(Eigen Vector) 고윳값과 고유벡터는 데카르트 좌표계(xy 좌표평면 등 일반적으로 사용되는 좌표 표현 방식)의 벡터를 방향이 변하지 않는 새로운 축에서의 선형 변환을 표현하는 형태로 자주 설명된다. 이 때 새로운 축 위의 점을 고유벡터라고 하고, 고윳값이 선형변환에 의해 벡터가 얼마나 이동하느냐를 나타낸다. 엄밀한 정의는 아니며, 일반적으로 다음과 같이 정의한다. $A\cdot x = \lambda \cdot x$이며 $x \neq o$일 때의 $x$는 고유벡터, $\lambda$는 고윳값이다. 첫 번째 식을 이항하여 $A\cdot x - \lambda \cdot x= (A - \lambda) \cdot x = O$ 와 같이 표현할 수 있는데, 이때 해에 ..

*LU분해의 과정에 관한 내용은 이전 포스팅 참조 가우스-조르당 소거법 포스팅에서 $Ax = b$를 다음과 같이 정의하였다. $ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 10 \end{pmatrix} $ 이때, LU 분해를 통해 행렬 A를 분해할 수 있다. $A = L \cdot U = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 9/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1/2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 ..

LU 분해 LU 분해는 연립방정식의 해를 푸는 방법 중 하나로, 일반적으로 $O(n^3)$의 시간복잡도를 가지는 가우스-조르당 소거법에 비해 적은 소요시간을 가지는 것으로 알려져 있다(실제로는 LU 분해를 사용해도 $O(n^3)$ 정도의 시간이 소요될 수 있다). LU 분해는 주어진 연립방정식 $Ax = b$에서의 $A$를 $L$, $U$로 표현되는 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix)과 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix)의 행렬곱으로 표현하는 과정과, 분해된 $L$,$U$ 행렬을 대입 연산(Back Substitution/Forward Substitution)을 통해 해를 구하는 두 과정으로 나뉘는데, 이번 포스트에서는 분해 과정에 대하여 설명하고, 해를 구하는 과..